Makalah Rumusan Hamilton Format ms word bisa edit

Berikut Makalah Rumsan Hamilton untuk anda yang membutuhkan. Materi Rumusan hamilton adalah salah satu sub materi pada mata kuliah mekanika di universitas. bagi anda yang membutuhkan silahkan baca dan download versi doc (ms. word 2013) melalui link yang kami sematkan dalam artikel ini.

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun makalah panjatkan atas kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala atas limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada kami, nikmat kesehatan dan kesempatan sehingga, berkat hal tersebut kami dapat menyusun sebuah makalah berjudul Rumusan Hamilton. Tak Lupa pula kami hanturkan Shalawat dan salam kepada junjungan mulia Nabi Muhammad Shallallahu`alaihi Wa Sallam sosok manusia pilihan yang telah menyelamat umat manusia dari belenggu kejahiliaan.

Kedua ucapan di  atas sering dijadikan formalitas ucapan pembuka atau mukadimah semata, padahal seyogyanya kita selaku ummat islam tidak hanya menganggapnya sebagai formalitas melainkan sebagai bentuk pengingat jati diri dan kemudian diwujudkan dalam bentuk implementasi dalam beraktivitas di kehidupan sehari-hari.

Menyangkut Makalah yang berjudul Rumusan Hamilton ini, kami susun dengan rujukan beberapa referensi yang bisa diakses di internet. Kami sadari makalah ini masih terbatas dan penuh kekurangan dalam berbagai hal tetapi kami selaku penyusun makalah tetap berharap bahwa dengan kehadiran makalah ini kiranya bisa mendatangkan manfaat baik untuk kami pribadi maupun bagi teman-teman sekalian dalam rangkat menambah wawasan kita. Sebagai bentuk umpan balik kepada kemi selaku penyusus materi, kepada pembaca jangan sungkan untuk memberikan kritik dan saran berkaitan dengan makalah ini.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.. i

DAFTAR ISI. ii

BAB I PENDAHULUAN.. 1

A.         Pendahuluan. 1

B.         Pokok Bahasan. 2

BAB II PEMBAHASAN.. 3

A.         Persamaan Fungsi Hamilton. 3

B.         Persamaan Gerak Hamilton. 4

C.         Gasing dengan Momen gaya. 5

D.         Contoh penerapan Hamilton. 6

BAB III KESIMPULAN.. 10

DAFTAR PUSTAKA

UNTUK DOWNLOAD VERSI DOC SILAHKAN MELALUI LINK DIBAGIAN BAWAH

BAB I  PENDAHULUAN

A.    Pendahuluan

Mendengar nama newton pasti sudah tidak asing bagi kita. Fisikawan terkenal pada abad 17 ini, namanya sampai abad 21 saat ini masih begitu masyur terekam melalui sebuah hukum fisika dasar yang dikenal dengan hukum newton yang membahas mengenai gerak benda yang ditimbulkan karena adanya gaya yang bekerja pada benda tersebut.

Jika berbicara mengenai gerak benda, sebenarnya newton bukan satu-satunya pemikir yang membahas topik ini. Selain newton, ada juga seseorang yang bernama Sir William Rowan Hamilton yang memperkenalkan formulasi hamilton/hamiltonian.

Sedikit biografi mengenai Sir William Rowan Hamilton, bahwa dia adalah seorang ilmuwan Irlandia serta ahli bahasa yang menguasai sampai 13 bahasa. Bukan hanya pada bidang mekanika, Matematikawan Irlandia ini juga mempunyai kontribusi terhadap pengembangan optik, dinamika, dan aljabar. Dia lahir pada tangga 4 Agutus di 1805 di Dublin dan meninggal di Dunsink saat 2 Desember 1865. Hamilton adalah anak dari seorang pengacara, tetapi dia sendiri justru dididik oleh pamannya, James Hamilton.

Formulasi Hamiltonian merupakan formulasi Mekanika klasik juga dapat diaplikasikan untuk memecahkan kasus dari gejala mekanika klasik dan juga bisa menjadi opsi untuk kasus yang tidak bisa ataupun sukar diselesaikan dengan Hukum newton. Dalam melakukan pendekatan untuk menyelesaikan kasus mekanika partikel dengan menggunakan hukum Newton memerlukan informasi berupa gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newton tidak dapat diterapkan. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya.

Hal tersebut secara tesirat menyatakan bahwa mempelajari Formulasi hamiltonian peting sebagai opsi tambahan dalam mempelajari mekanika. Karenanya sebuah makalah mengenai formulasi hamiltonian kami susun sebagai bahan pembelajaran sekaligus tuntutuna tugas kuliah mekanika.

B.     Pokok Bahasan

Mengacu pada pokok bahasan materi pada mata kuliah Mekanika maka setidaknya terdapat 4 pokok bahasan yang dibahas pada makalah ini. Adapun rumusan tersebut adalah sebagai berikut :

1.      Fungsi hamilton

2.      Persamaan gerak hamilton

3.      Gasing dengan Moment Gaya

4.      Contoh penerapan fungsi hamilton

5.       

BAB II PEMBAHASAN

A.    Persamaan Fungsi Hamilton

Baik Hamilton maupun langragian bukan merupakan hasil dari teori baru melainkan masih merupakan turunan dari hukum gerak newton khususnya pada hukum kedua newton. Selanjutnya hamilton menggunakan pendekatan energi untuk menjelaskan mekanika suatu objek. Karena menggunakan pendekatan berupa  energi total maka persaman hamilton cocok digunakan untuk kasus skalar dibandingkan vektor.

Prinsip hamilton menyatakan bahwa “dari seluru lintasan yang mungkin bagi sitem dinamis untuk berpindah dari suatu titik ke titik lainnya dalam rentang waktu spesifik (konsisten dalam sembarang konstrain), lintasan nyata yang di ikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisi antara energi kinetik dan energi potensial.

Fungsi Hamiltonian mempunyai kesamaan dengan Lagrangian  dan juga secara alami muncul dari persamaan Lagrangian pula. Funsi  Hamiltonian dapat dinyatakan . Dimana q = (q_1,. . . , qn)^T dan p = (p₁, . . . , p_n)^T dan q˙ = q˙ (q,p,t) , serta notasi untuk q˙.p dinyatakan dengan  . dalam kaitanya dengan fungsi lagragian, fungsi hamliton dapat dituliskan dengan persamaan berikut :

Kemudian  Sebagaimana L dapat ditafsirkan sebagai T + V jika gaya adalah konservatif, maka bila ditinjau penjumlahan  dan misalkan digunakan koordinat Kartesian, dimana

Kemudian jika persamaan diatas disubtitusikan ke persamaan sebelumnya maka akan diperoleh :

Persamaan tersebut adalah bentuk lain dari fungsi Hamilton.

Oleh karena tidak adanya ketergantungan terhadap t yang eksplisit pada fungsi Hamiltonian, H dapat berfungsi sebagai sistem konseatif , walaupun H secara umum mungkin bukan energi totalnya. Akan tetapi untuk sistem mekanik sederhana dengan nilai energi  kinetik T = T (q,q^.) dan potensial V = V (q), maka nilai H akan menjadi energi Totalnya

B.     Persamaan Gerak Hamilton

Dari bagian A diperoleh bentuk fungsi hamilton yaitu sebagai berikut :

Dimana P_k adalah momentum konjuget dan  adalah turunan pertama posisi terhadap waktu dengan kata lain adalah kecepatan.

Formulasi mekanika Hamilton menggambarkan sistem dalam hal koordinat umum (q_k) dan momentum umum (p_k). Persamaan gerak Hamilton, dapat kita turunkan dengan cara melakukan diferensiasi total terhadap H (q, , t) sehingga diperoleh persamaan.

Kemudian untuk persamaan fungsi hamilton juga diperlakukan sama seperti itu

Kedua persaman tersebut merupakan variasi Hamilton sehingga kedua persamaan tersebut dapat disamakan.

Untuk     sehingga  saling meniadakan. Sehingga persamaan diatas sekarang berbentuk

Kedua persaman diatas mempunyai struktur yang sama sehingga dari persamaan tersebut dapat ditentukan komponen kecepatan hamilton yaitu

  atau 

C.    Gasing dengan Momen gaya

Tinjau gerak gasing dalam medan gravitasi uniform di mana satu titik dari sumbu simetrinya tetap, yakni titik O yang tidak berimpit dengan pusat massa. Jadi, gasing ini tak mempunyai gerak translasi.

Misalkan I₃>I₁=I₂. Sumbu-x’3 adalah sumbu tegak, sedangkan X₃ adalah sumbu simetri gasing. Gaya F tidak menimbulkan momen gaya, sedangkan gaya berat Mg menimbulkan momen gaya N di titik O.

Energi kinetik

Untuk energi potensialnya berlaku

Sehingga persamaan hamiton yang juga ditulsikan sebagai energi total dapat dirumsukan dengan persamaan sebagai berikut.

Donwload Versi Doc

D.    Contoh penerapan Hamilton

Berikut beberapa contoh penerapan persamaan fungsi Hamilton pada beberapa kasus yang melibatkan gerak benda.

1.      Tentukan percepatan sistem pada gambar berikut.

Seperti yang telah kita bahas diperkuilahan sebelumnya, dengan menggunakan hukum newton diperoleh percepatan sistem yaitu :

Selanjutnya dengan menggunakan fungsi hamilton.

Untuk T dan V adalah

Karena  dan  ; denga R adalah jari-jari katrol

Kemudian untuk energi potensial

Sehingga H adalah

Selanjutnya dengan menggunakan Persaman gerak hamilton diperoleh

=  

=

Karena  sehingga persamaan diatas dapat dituliskan dengan

=  =

=

Selanjutnya untuk mencari pecepatanyanya

Dari persaman diatas sebelumnya   sehingga

Persamaan tersebut adalah persamaan gerak (percepatan) pada sistem bandul dengan mk adalah massa katrol. Dengan bentuk lain persamaan diatas dapat juga dituliskan sebagai :

2.      Penerapan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi.

Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

                   dan                                

Momentumnya dapat ditulis                 

                             atau                              

 Hamiltoniannya dapat ditulis :

                                                        

 Persamaan geraknya adalah :

                                                                        

  dan diperoleh :

             

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

                                                                                

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

3.      Penerapan Persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:

                        dan V=V(r)                          

Jadi :

                                                                

                                           

Akibatnya :

                                                        

Persamaan Hamiltoniannya:

        ,  , ,                     

Selanjutnya:

                                                                                     

                                                                   

                                                                                      

                                                                                  

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

                                           

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

                                   

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

BAB III KESIMPULAN

1.      Fungsi Hamiltonian mempunyai kesamaan dengan persamaan Lagrangian dan juga secara alami muncul dari persamaan Lagrangian.

2.      fungsi Hamilton dapat dituliskan dengan persamaan

3.     fungsi persamaan gerak Hamilton dapat dituliskan dengan

  atau 

DAFTAR PUSTAKA

Mekanika II. (2009). Dipetik Februari 23, 2020, dari Fisika Unpad - Universitas  Padjadjaran: http://phys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/MEKANIKA-II.pdf

Morin, D. (2007). The Hamiltonian method. Dalam Introduction to Classical Mechanics, With Problems. Amerika: Cambridge University Press.